Cos'è un punto di flesso?

Il punto di flessione è un concetto importante nel calcolo differenziale.Nel punto di inflessione, la curva di una funzione cambia la sua concavità mdash;In altre parole, cambia da curvatura negativa a positiva o viceversa.Questo punto può essere definito o visualizzato in modi diversi.Nelle applicazioni del mondo reale in cui un sistema viene modellato usando una curva, trovare il punto di flesso è spesso fondamentale per anticipare il comportamento del sistema.

Le funzioni nel calcolo possono essere graficamente su un piano costituito da un asse x e y, chiamato cartesiaaereo.In una determinata funzione, il valore X o il valore che è l'input nell'equazione, produce un output, rappresentato dal valore y.Se graficati, questi valori formano una curva.

Una curva può essere concava verso l'alto o concava verso il basso, a seconda del comportamento della funzione su determinati valori.Una regione concava verso l'alto appare su un grafico come una curva simile a una ciotola che si apre verso l'alto, mentre una regione concava verso il basso si apre verso il basso.Il punto in cui questa concavità cambia è il punto di inflessione.

Esistono alcuni metodi diversi che possono essere utili per visualizzare dove si trova il punto di inflessione su una curva.Se uno doveva posizionare un punto sulla curva con una linea retta travantata attraverso di essa, tocca la curva e mdash;una linea tangente mdash;E eseguire quel punto lungo il corso della curva, il punto di flessione si verificherebbe nel punto esatto in cui la linea tangente attraversa la curva.

Matematicamente, il punto di inflessione è il punto in cui il secondo derivato cambia segno.Il primo derivato di una funzione misura il tasso di variazione di una funzione quando cambia il suo input e la seconda derivata misura il modo in cui questo tasso di variazione stesso potrebbe cambiare.Ad esempio, la velocità di un'auto in un determinato momento è rappresentata dal primo derivato, ma dalla sua accelerazione mdash;aumento o diminuzione della velocità e mdash;è rappresentato dal secondo derivato.Se l'auto accelera, la sua seconda derivata è positiva, ma nel punto in cui smette di accelerare e inizia a rallentare, la sua accelerazione e il suo secondo derivato diventano negativi.Questo è il punto di inflessione.

Visualizzarlo graficamente, è importante ricordare che la concavità della curva di una funzione è espressa dal suo secondo derivato.Un secondo derivato positivo indica una curva concava verso l'alto e un secondo derivato negativo indica una curva che è concava verso il basso.È difficile individuare il punto esatto di inflessione su un grafico, quindi per le applicazioni in cui è necessario conoscere il suo valore esatto, il punto di inflessione può essere risolto per matematicamente.

Un metodo per trovare il punto di flesso di una funzione è prendere il suoSecondo derivato, impostalo uguale a zero e risolvi per x.Non tutti i valore zero in questo metodo saranno un punto di flesso, quindi è necessario testare i valori su entrambi i lati di x ' 0 per assicurarsi che il segno della seconda derivata effettivamente cambi.In tal caso, il valore a x è un punto di flesso.